碰撞出来的圆周率（上）

一、碰撞出来的圆周率

想象地面上有一堵墙，墙的右边某处有一物体A，它的右边某处又有一物体B。假设地面无限长无限光滑，AB两物体都可视为质点，AB之间，以及它们和墙之间都作完全弹性碰撞。

先假设A和B的质量相同，A和B一开始都静止。我们朝左推一下B，让它有个初始速度。B运动一段时间后撞到A（第一次），由于动能守恒和动量守恒的缘故，B完全停止，而A以原先B的速度向左运动。A撞到墙（第二次）后以原速率向右弹回，运动后又撞到B（第三次）。接下去A完全停止，B向右一直运动。我们看到这样一共会发生3次碰撞。

为什么是3次？如果说这是因为圆周率π的第一个数字是3，你会不会觉得这种关联太牵强？让我们继续看。

保持其他假设不变，只是现在B的质量是A的100倍。最初B运动一段时间后撞到A，这时因为B的质量大于A，B并不会完全停止，而是会继续向左以比原先稍慢的速率运动，而A则会以比B更快的速率向左运动，直到撞上墙向右弹回，然后又撞上B向左弹回。这时B向左运动的速率又慢了一点，而A的速率则变得更快。这样A在B和墙之间反复碰撞，直至把B推动至向右运动。然后A仍在B和墙之间碰撞，B向右的速率将逐次加快，而A的速率则会逐次减慢，直至最终A赶不上B而不再发生碰撞为止。在下图的模拟中我们看到，这样一共会发生31次碰撞。

为什么是31次？如果说这是因为圆周率π去掉小数点后的前两个数字是3和1，你会不会觉得这纯属巧合？让我们继续看。

仍保持其他假设不变，只是现在B的质量是A的10000倍。下图模拟中的碰撞已变得看不清，但是通过计算，我们知道，一共会发生314次碰撞。

而假设B的质量是A的1000000倍，则会发生3141次碰撞；假设B的质量是A的100000000倍，则会发生31415次碰撞……总而言之，如果B的质量是A的10²ⁿ倍，那么会发生的碰撞次数就是把圆周率π的小数点拿掉后前面n+1位数表示的数字。只要两个物体一堵墙，推上一下，我们就能计算圆周率π。这显然不能再用巧合来解释了。

当然，在现实情况下想用这种办法稍微精确地计算一下π也是不可能的。首先，“无限光滑”“完全弹性碰撞”的条件太理想化。而A和B的质量不可能相差太大：比如n=50时，B和A的质量比要达到10¹⁰⁰，即便A的质量小如电子，B的质量也将超过目前可观察宇宙的总质量。就不要说在极其微小和巨大质量的条件下，必须考虑诸如分子热运动，万有引力，量子效应，相对论效应等等物理学家们俯拾皆是的抬杠理由。我们这里谈论的与其说是一个物理问题，毋宁说是一个数学问题，也就是仅考虑经典的牛顿三大运动定律图景下的数学结论。

1995年美国东伊利诺大学的数学家Gregory Galperin在做一次关于小球碰撞的数学报告前发现了上面这个有趣的结论。当他在报告中公布这个发现时，开始听众们都觉得难以置信。但在给出证明后，听众们又纷纷表示信服。后来Galperin在2003年为此写了一篇论文。后面我要介绍的，则是由斯坦福大学的Gary Antonick提出的另一种偏向于几何的证明方法，比较直观。