Voderberg拼块的妙用：围绕数为2的拼块

组合几何中有个分支研究的是拼块问题。平面上的一条连续的，不自相交的封闭曲线形成的图形可以称作一个拼块。简单多边形（不一定是凸的）就是一种拼块。

对每种拼块我们可以定义一个叫“围绕数”的性质。

上面四个图中的四种拼块分别是正方形、正方形，正三角形和一种长方形。中央黄色的拼块分别被若干个形状相同的绿色拼块围绕得密不透风，使得它上面的任何一点都离未被覆盖的“外部”有一段距离。第一个图的黄色正方形拼块被9个绿色正方形拼块围绕，而第二个图则是6个。我们定义一种拼块的“围绕数”是将其围绕得密不透风而所需相同拼块的最小数目。我们可以看出，正方形和正三角形的围绕数都是6，而非正方形的长方形的围绕数为4。

有人大概会说，正方形和正三角形的围绕数也是4啊，如下图的拼法就可以了：

我们必须强调这种拼法是不合格的，因为有点透风：比如黄色正方形的四角离“外部”的距离都是0。

对于大于等于3的自然数n，我们都容易找到围绕数为n的拼块。（不过这个“容易”也是相对的，比如说，大家可以找找围绕数为5的拼块，并不那么容易。）下面是个围绕数为3的例子：

而围绕数为1显然不可能，因为这意味着光一个拼块自己就能把自己围起来。围绕数为0的拼块就很多了，比如圆形的围绕数为0。

这篇文章里，我要介绍的是围绕数为2的拼块。不少时间以来，大家都没有找到这种拼块，以至于有人猜想这样的拼块并不存在。但2002年美国东北州立大学的数学家Casey Mann受Voderberg拼块的启发，找到了一种围绕数为2的拼块。

Voderberg拼块是数学家Heinz Voderberg于1936年发现的，它的模样如下：

这是一种有趣的拼块，比如说可以用它以各种方法平铺满整个平面：

应该指出的是，后面这几幅的螺旋形更多地是一种心理效应，它们其实都是如下两部分交错拼接而成：

Voderberg拼块的另一个特点是，它几乎满足了“围绕数为2”这个性质：

上图中，黄色拼块几乎被蓝色和绿色围绕。很遗憾，正如前面四块正方形围绕一个正方形的情况，这个围绕是透风的，黄色拼块上下分别有两点和“外部”的距离为0。另外我们可以看到，两个Voderberg拼块实际上可以几乎围绕两个Voderberg拼块：上图中蓝色和粉红色拼块几乎围绕了黄色和绿色拼块——当然，还是“几乎”，上下还是有两点透风。

能不能改造一下Voderberg拼块，使得它能实实在在地拥有围绕数2？Casey Mann发现了一个诀窍。这个诀窍是在相应的角落里装上合适的插头和插座：

这看起来和原来也没啥区别啊——区别在红框里，得放大了看：

1和3中那个钩子的角度，就是Voderberg拼块上“鸭嘴”的角度，而2里凹部的角度则是它的两倍。现在我们看看围绕数为2的效果：

上下两个”敏感部位“放大的样子：

我们看到，这下黄块的确被蓝绿块密不透风地围绕起来了。

如果要做到类似Voderberg拼块两块围绕两块的情况也可以，只是要把那个钩子削一下：

拼出来的效果：

细节（这次上下两点的情况完全对称）：

要指出的是，这样被改造过的Voderberg拼块无法象真正的Voderberg拼块那样，不重叠地平铺整个平面。

Casey Mann还指出，Voderberg拼块可被推广，使得两块拼块可以几乎围绕任意n个（比如说一万个）同样的拼块，这样的拼块也可以类似地被加上插头和插座，做到两块拼块可以真正密不透风地围绕任意n个同样的拼块。

---

参考文献：

[1] Casey Mann, A Tile with Surround Number 2, The American Mathematical Monthly 109(4): 383-388 (2002)