边看边说序列的宇宙学（四）

五、化学定理和宇宙学定理的证明

在此重新叙述一下化学定理的内容： （化学定理） 任何一种普通元素的后代都是普通化合物，普通化合物的后代也是普通化合物。除了₁氢外，从任意一种普通化合物开始，演化足够多天后，得到的化合物将由所有92种普通元素组成。

第二节的元素列表具体地拿出来后，定理前面一句的证明就差不多完成了：无非是验证一下元素所代表的数字串一天后的产物的确就是“一天后衰变物”一栏中化合物所代表的数字串，而且其中的分割是正确的。

定理后面一句如果可以用算术定理的话，证明也很简单：因为经过足够多的时间后，除了₁氢外的任何普通化合物演化出的数字串中各普通元素的比例会趋近于丰度，而每种普通元素的丰度都严格大于0，所以我们自然能得出每种普通元素都在这些数字串中存在的结论。不过如果不用算术定理，只通过元素列表，我们也同样能证明这一点。

首先，通过元素列表的重要特性，即对任何大于1的自然数n，第n号元素一天后会衰变出第n-1号元素这点可知，任选一种除了₁氢外的普通元素，从它出发都能衰变出任何一种普通元素。因为所有原子序数较大的都能衰变出原子序数较小的，而衰变到₂氦时则能回头衰变出₉₁镤，然后能衰变出₃₉钇，最终衰变出₉₂铀来，从而进一步衰变出任何普通元素。

其次，容易看出两种元素间通过固定的衰变途径，从一种元素演化到另一种元素的时间间隔是固定的。比如通过₆碳→₅硼→₄铍→₃₂锗→₆₇钬这条衰变途径，从₆碳到₆₇钬用了4天，那么我们可以肯定，如果在第d天化合物中有₆碳元素，那么第d+4天化合物里一定有₆₇钬元素。

注意到₂氦→₃锂→₂氦这条途径，从₂氦出发，每隔一天能产生出一个₂氦来。如果第一个₂氦出现在第h天，那么后面所有和h间隔偶数天的日子里也会有₂氦。再看₂氦→₂₀钙→₁₉钾→₁₈氩→……→₄铍→₃锂→₂氦这条途径，如果第h天有₂氦，那么第h+19天也会有₂氦，然后从那以后每隔一天都会有₂氦。也就是说，如果第h天有₂氦，那么从第h+19天起，每天都有₂氦。所以我们有了第三个结论：任选一种除了₁氢外的普通元素，从它出发，在足够长时间后，每天产生的化合物中都有₂氦。

上面这三点结合起来的推断出的结论自然就是，任选一种除了₁氢外的普通元素，从它出发，在足够长时间后，每天产生的化合物中都有92种普通元素中的任何一种。这就完成了化学定理的证明。

至于宇宙学定理，按照康威的说法，那是非常非常难的，写出来会很长。他和Richard Parker花了一个月搞出来过一个证明，但是稿子遗失了。Mike Guy也曾证明了这个定理，比前面这个短一些可还是很长，而且他的稿子也遗失了。基于以上理由，在论文里他干脆就什么证明都没放，只问“你能找到一个几页就能写下的证明吗？拜求！”

这大概是自费马在《算术》一书的书边对他的“大定理”写下“我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下”后最拽的“此定理已证”的声明吧。

直到2003年，美国路易斯安那州立大学的数学家R. A. Litherland才给出了一个完整的宇宙学定理的证明。这个证明是由计算机辅助完成的，也就是说，先使用人工的推理将定理的证明转化成对一些特殊的有限的情况的验证，然后再使用程序来验证这些情况，因为使用人力来验证太困难。史上最著名的采用计算机辅助方式的证明大概是四色定理的证明。

宇宙学定理中和普通化合物算术定理并行的部分很容易通过后者证得：因为超铀元素的数目从第二天开始就固定，而普通元素的数量则随着演化趋向于无穷，所以超铀元素对化合物长度和成分的贡献可以忽略不计。

本文对宇宙学定理的证明的介绍就到此为止。接下去应该介绍算术定理的证明了，这是本文最有意思的一部分，但是了解它需要线性代数的知识。所以在此之前，我打算先讨论一下边看边说序列理论中的这几个定理的应用，这一部分不需要线性代数的知识。

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参考文献：

[1] John Horton Conway, The weird and wonderful chemistry of audioactive decay, Eureka 46:5-16 (1985); reprinted in Open Problems in Communication and Computation, T.M. Cover & B. Gopinath, eds., Springer-Verlag, New York, 173–188 (1987).

[2] Richard A. Litherland, Conway’s cosmological theorem, https://www.math.lsu.edu/~lither/jhc/cct.pdf (2003).

[3] Dimitrios Noutsos, On Perron-Frobenius property of matrices having some negative entries, Linear Algebra and its Applications 412:132–153 (2006).