数学科普

边看边说序列的宇宙学（二）

作者：安迁

三、宇宙学定理

在上节中我们讨论了普通元素（以及普通化合物）的性质。但我们知道，存在着无数不同于普通元素的元素，这些元素的演化结果会是什么？象1这样的元素，最终会演化成普通化合物，从而掉进普通化合物的圈子，那么有不同于普通化合物的封闭圈子吗？这是上节中的化学定理和算术定理没有回答的问题。

作为数学家，把理论推广是一种本能。康威也考虑以其他的有限数字串作为起始的演化序列的情况。比如从55555开始，然后得到

55
25
1215
11121115

等等；字符串中也可以含有其他不是十进制数字的符号（但为了方便我们仍称之为数字串），比如从%5##开始，得到

1%152#
111%1115121#
311%31151112111#
13211%1321153112311#

等等。对这样的边看边说序列，它们又会有什么样的演化性质？

这里有一个技术细节要处理。如果我们从1000个1组成的数字串出发，序列的第二项是1000 1（我特意在1000和1中间加了一个空格），问题是第三项应该是什么？第一种选择是，把前面这个1000看作是1个1和3个0，那么第三项就是113011。而第二种选择是，把前面这个1000看作是一整个不可分割的符号，那么此时我们看第二项时会说那是1个1000和1个1，那么第三项就应该是1(1000)11，这里1000被括号括起，表示这是整一个不可分割的符号。我们完全可以为1000引入一个特别的符号，比如“M”，那么就没有歧义了：看见第一项1000个1组成的数字串，我们会说那是M个1，于是第二项是M1，第三项则是1M11，等等。这种另引入符号的方法其实早就有了，十六进制里我们为了表示十进制的10，11，12，13，14，15，往往用“A”，“B”，“C”，“D”，“E”，“F”来表示它们。上面的第二种选择无非就是使用了“无穷进制”，为每一个自然数单独引入一个不同的符号。

其实采用第一种选择还是第二种选择，对于下面要叙述的结论影响并不大。只是采取第二种选择能够让我们在演化时间上得到一个更为精细的结论，这也是康威原始论文中的选择，所以我们也同样采取这个选择。而对于不愿意在细节方面纠缠的读者来说，完全可以把初始的数字串限定为只由0-9这十个符号组成，而且其中没有超过九个连续的相同数字。你不会因此少欣赏到多少这个理论的有趣之处。

对于这样的推广情况，前面针对普通化合物的结论显然需要修改，因为那些不是“1”、“2”、“3”的符号在演化过程中永远也不会消失，所以演化过程再长，演化结果也不会仅由普通元素组成。但是令人吃惊的是，前面第二节中的结论并不需要修改很多：

  • 除了92种普通元素外，还有两类被称为“超铀元素”的镎和钚的同位素（具体形式在后面给出）；
  • 从任意数字串（可以包括除“1”、“2”、“3”以外的符号）出发，在有限天内它就会演化成为普通元素和超铀元素拼接而成的化合物。如果对个数的解释采用前面的第二种选择的话，则我们可以找到这个“有限天”的上限：在24天后（也即从第25项起），任意数字串都会演化成为普通元素和超铀元素拼接而成的化合物；
  • 除了1氢（即数字串22）外，从任意数字串出发，演化足够多天后，得到的化合物将由所有92种普通元素和一些超铀元素组成。每种普通元素在这些化合物中的比例越来越趋近于它的丰度，而超铀元素的比例则趋近于0；
  • 从任意数字串出发，每一步演化得到的数字串的长度和上一步相比，越来越趋近于前面所说的康威常数。

上面关于任意数字串的结论被称为“宇宙学定理”，是本理论中的基本定理。宇宙学定理要比化学定理强得多，它说明了普通元素加上超铀元素组成的化合物是终极圈子，无论从什么数字串出发，最多过24天，都会掉进这个圈子中。尽管元素有无穷多种，但是能够长期存在的，却只有普通元素和超铀元素，它们被称为稳定元素。所有其他的元素都是不稳定的。

两类超铀元素如下，其中n是任何一个除“1”、“2”、“3”以外的符号：

|元素|数字串|一天后衰变物| |—-|—-|—–| |93镎n|1311222113321132211221121332211n|72铪13镤1氢20钙94钚n| |94钚n|31221132221222112112322211n|93镎n| 每选取一个不同的n，就会有相应的不同的93镎n和94钚n，它们被称作93镎和94钚的同位素。注意到两类超铀元素是彼此的衰变产物。

“24天”这个下限不可能再缩短了，因为我们可以找到寿命恰为24天的不稳定元素2233322211n，其中n是不为“1”的数字（可以是“2”或“3”或其他符号）。下面是它的衰变过程（为了简短起见，一旦产生了稳定元素，我们就在后续项中忽略掉这一部分的后代）：

2233322211n
223332211n
223322211n
222332211n
322322211n
13221332211n
111322112322211n
31132221121332211n
132113322112112322211n
<sub>57</sub>镧.<sub>1</sub>氢.12322211221121332211n
1112133221222112112322211n
<sub>38</sub>锶.3221132211221121332211n
132221132221222112112322211n
1113322113321132211221121332211n
3123222.<sub>20</sub>钙.（<sub>3</sub>锂 或 <sub>74</sub>钨 或 <sub>94</sub>钚<sup>n</sup>）
1311121332
11133112112.<sub>30</sub>锌
<sub>30</sub>锌.321122112
131221222112
1113112211322112
311321222113222112
1321131211322113322112
111312211311122113222.<sub>11</sub>钠
3113112221133122211332
<sub>67</sub>钬.<sub>91</sub>镤.<sub>1</sub>氢.<sub>20</sub>钙.<sub>89</sub>锕.<sub>1</sub>氢.<sub>20</sub>钙.<sub>30</sub>锌

康威将这种寿命最长的达到24天的形如2233322211n的不稳定元素命名为鎷(Methuselum)。这用的是《旧约》中玛土撒拉的典故，因为传说他活了969年，是活得最长的人。

在后续章节中我们将讨论一些技术性比较强的问题，如化学定理、算术定理和宇宙学定理的证明，以及关于元素丰度的计算，和那个神秘的多项式的来历，并利用这些定理做一些具体的计算。

参考文献：

[1] John Horton Conway, The weird and wonderful chemistry of audioactive decay, Eureka 46:5-16 (1985); reprinted in Open Problems in Communication and Computation, T.M. Cover & B. Gopinath, eds., Springer-Verlag, New York, 173–188 (1987).

<（一）
（三）>