数学科普
孙庞猜数（下）
作者：安迁
六、孙庞猜数问题的变种
下面介绍几个文献[1]中提到的孙庞猜数问题的有趣变种。它们大多能够用手工方式解。解答请参见文献[1]，我就不在此给出了。
A) Ferguson变种
由Thomas Ferguson提出。
鬼谷子选了两个（不一定不同的）正整数x和y，把两数和x+y告诉庞涓，把两数平方和x2+y2告诉孙膑。
孙膑说：“我不知道这两数是什么。”
庞涓说：“我不知道这两数是什么。”
孙膑说：“我不知道这两数是什么。”
庞涓说：“我不知道这两数是什么。”
孙膑说：“我不知道这两数是什么。”
庞涓说：“我不知道这两数是什么。”
孙膑说：“啊哈，这下我知道这两数是什么了。”
问：这两数是什么？
解法就是前面说过的，每次听到有人说“我不知道”，那就划去所有那些其中只有一个值的行或列；而当最后有人说“我知道了”时，则划去所有那些其中有超过一个值的行或列。注意到这题里对鬼谷子取的这两个数的限制只是正整数，根本没有给出它们的上限，于是理论上我们得建一个有无穷行和有无穷列的交叉表来划。注意这次是孙膑先开口。
B) Berloquin变种
由Pierre Berloquin提出。
鬼谷子选了两个（不一定不同的）大于等于2的正整数，把两数之和告诉庞涓，把两数之积告诉孙膑。
庞涓说：“我不知道这两数是什么。”
孙膑说：“我不知道这两数是什么。”
庞涓说：“啊哈，这下我知道这两数是什么了。”
孙膑说：“啊哈，这下我也知道这两数是什么了。”
问：这两数是什么？
注意到这题里鬼谷子取的这两个数也无上限。但是这题的解法非常简单。如果去掉两个整数可能相同这个条件：
鬼谷子选了两个不同的大于等于2的正整数，把两数之和告诉庞涓，把两数之积告诉孙膑。
庞涓说：“我不知道这两数是什么。”
孙膑说：“我不知道这两数是什么。”
庞涓说：“啊哈，这下我知道这两数是什么了。”
孙膑说：“啊哈，这下我也知道这两数是什么了。”
问：这两数是什么？
那么这题就比前面这题要难不少，但也可手算。
C) Friedman变种
由Erich Friedman提出。
鬼谷子选了两个整数x和y，其中1≤x≤y≤9。他把两数之和告诉庞涓，把两数之积告诉孙膑。
1) 孙膑说：“我不知道这两数是什么。”
2) 庞涓说：“我不知道这两数是什么。”
3) 孙膑说：“我不知道这两数是什么。”
4) 庞涓说：“我不知道这两数是什么。”
5) 孙膑说：“我不知道这两数是什么。”
6) 庞涓说：“我不知道这两数是什么。”
7) 孙膑说：“我不知道这两数是什么。”
8) 庞涓说：“我不知道这两数是什么。”
9) 孙膑说：“啊哈，这下我也知道这两数是什么了。”
问：这两数是什么？
这问题的解法完全就是具体列表然后划表格，因为x和y的可能性都不多，所以即便手算也不难。
有趣的是它的推广。令m，M和r都是正整数，而且满足1≤m<M，r≥2。我们把上面的问题中的“1≤x≤y≤9”改成“m≤x≤y≤M”，由孙膑起头，两人轮流说“我不知道这两数是什么。”共r-1次，而在第r次，由那个轮到的人（取决于r的奇偶）说“啊哈，这下我也知道这两数是什么了。”这样的问题称作Friedman(m,M,r)问题。比如上面这个版本就是Friedman(1,9,9)问题。
当然并非任取m，M和r都能提供给我们一个有唯一解的Friedman(m,M,r)问题。比如Friedman(1,9,10)，也即上面的问题中最后孙膑仍不知道两数是什么，可是接下去庞涓宣称知道是什么了，这个问题是无解的。但是某些特定的值则会给我们唯一解：
Friedman(1,9,9)，解为(2,8)；
Friedman(1,99,15)：解为(77,84)；
Friedman(66,99,15)：解为(77,84)；
Friedman(301,369,15)：解为(320,342)；
Friedman(286,343,17)：解为(288,343)；
Friedman(177,234,20)：解为(198,210)；
Friedman(177,233,21)：解为(189,220)。
文献[1]的作者们猜想，对于任何正整数R，都存在有唯一解的Friedman问题，其中孙庞两人说话总次数超过R次。
D) Kraus四数变种
由Robert Kraus提出。
鬼谷子选了四个整数a，b，c和d，其中1≤a<b<c<d≤9。他把四数之平方和a2+b2+c2+d2告诉庞涓，把四数之积abcd告诉孙膑，把ab+cd告诉苏秦。
孙膑庞涓苏秦同声说：“我不知道这四数是什么。”
孙膑庞涓苏秦同声说：“我还是不知道这四数是什么。”
孙膑庞涓苏秦同声说：“我还是不知道这四数是什么。”
孙膑庞涓苏秦同声说：“啊哈，这下我知道这四数是什么了。”
问：这四数是什么？
三个人意味着平面的交叉表不够了，要列一个三个轴的立体交叉表。不用电脑来解此题会相当繁琐。它甚至可以被推广到下面的四人五数形式：
鬼谷子选了五个整数a，b，c，d和e，其中1≤a<b<c<d<e≤10。他把五数之和a+b+c+d+e告诉庞涓，把五数之积abcde告诉孙膑，把五数平方和a2+b2+c2+d2+e2告诉苏秦，把(a+b+c)(d+e)告诉张仪。
1) 孙膑庞涓苏秦张仪同声说：“我不知道这四数是什么。”
2) 孙膑庞涓苏秦张仪同声说：“我不知道这四数是什么。”
3) 孙膑庞涓苏秦张仪同声说：“我不知道这四数是什么。”
4) 孙膑庞涓苏秦张仪同声说：“我不知道这四数是什么。”
…………
22) 孙膑庞涓苏秦张仪同声说：“我不知道这四数是什么。”
23) 孙膑庞涓苏秦张仪同声说：“我不知道这四数是什么。”
问：这四数是什么？
注意到第23句四人都还不知道五个数都是什么。
E) 保良局变种
香港保良局每年举办小学数学世界邀请赛，下面这题是根据保良局比赛2001年一道赛题改编的题目。
鬼谷子选了三个正整数x，y和z，使得x+y+z=14。他把x告诉庞涓，把y告诉孙膑，把z告诉苏秦。
庞涓说：“我知道孙膑和苏秦的数字不同。”
孙膑说：“我早就知道我们这三个数都不同。”
苏秦说：“这下我知道这三个数是什么了。”
问：这三个数是什么？
我们甚至可以把题目里的14换成任何一个大于等于6我们甚至可以把题目里的14换成任何一个大于等于6的正整数s，得到广义保良局问题Kuk(s)，每一个这样的问题都有唯一解。
如果稍微改变一下上述问题中孙膑的话，也能得到有唯一解的一个问题：
鬼谷子选了三个正整数x，y和z，使得x+y+z=14。他把x告诉庞涓，把y告诉孙膑，把z告诉苏秦。
庞涓说：“我知道孙膑和苏秦的数字不同。”
孙膑说：“现在我知道我们这三个数都不同了。”
苏秦说：“这下我知道这三个数是什么了。”
问：这三个数是什么？
事实上我们也可以把上面题目里的14换成任何一个大于等于6的正整数s，得到另一类广义保良局问题Kuk+(s)，这类问题在s形如4k+2或4k+3时有唯一解。
参考文献：
[1] Axel Born, Cor A.J. Hurkens, Gerhard J.Woeginger, The Freudenthal problem and its ramifications (Part II). Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, EATCS, 91, Pages 189-204. (2007)