随笔

对伽罗华手稿f11的观察和推论

作者：安迁

本文通过对伽罗华“数学遗书”手稿最后两页的观察，提出一些和此前研究者结论不同的推论，并给出f11b上信件抄件空白间隙的一种解释。

一、手稿简介

1832年5月30日埃瓦里斯特·伽罗华(Évariste Galois)参加了数学史上著名而又神秘的一场决斗，腹部中枪，次日在巴黎的Cochin医院去世。

伽罗华在决斗前日（5月29日）给他的好友Auguste Chevalier写下了著名的数学遗书(Lettre testamentaire)，其中要求Chevalier将此信登载在Revue encyclopédique杂志上。伽罗华去世后，他的母亲在1832年6月底将他的手稿交给了Chevalier ([CH])。Chevalier忠实地执行了伽罗华的遗愿，并在此后十几年里，和伽罗华的弟弟Alfred一起奔波，希望能让伽罗华的数学成就得到数学界的承认。

1843年夏季的某个时候，Auguste Chevalier将伽罗华手稿交付给著名数学家约瑟夫·刘维尔(Joseph Liouville)([NE])。1843年9月4日，刘维尔在法国科学院(Académie des sciences)宣布，他在伽罗华的手稿中找到了关于代数方程理论的重要结果。1846年伽罗华的数学遗书在刘维尔主办的杂志《纯粹与应用数学杂志》(Journal de mathématiques pures et appliquées)上刊登，伽罗华的数学成就在十九世纪下半叶被数学界广泛承认，并深刻影响了现代数学的发展。

1882年刘维尔去世后，包括伽罗华手稿在内的他的收藏由女婿Célestin de Blignières继承。1905年Célestin de Blignières去世后，他的遗孀也即刘维尔的女儿Marie de Blignières找出了伽罗华手稿，将其捐赠给法国科学院([TA])。

今天，伽罗华手稿保存在法兰西学会(Institut de France)图书馆内，被分为27个卷宗(dossier)，收藏编号Ms 2718，其数字化图片可在法兰西学会图书馆网站下载([GA])。

历年来，对伽罗华手稿整理，注重于描述手稿本身状态的出版物，主要有以下三本：

  • [TA] Jules Tannery, Manuscrits de Évariste Galois, Gauthier-Villars, Paris 1908. 此书编辑Tannery参与了伽罗华手稿原件的整理，现今原件档案中的一些内容，比如手稿页面的编号，和每个卷宗开头标注内容的纸片，可能就出于其手。
  • [BA] Robert Bourgne & Jean-Pierre Azra, Écrits et Mémoires Mathématiques d’Évariste Galois, Gauthier-Villars, Paris 1962. 此书可称伽罗华手稿研究的圣典，号称整理了手稿中所有内容，包括涂抹的痕迹。
  • [NE] Peter M. Neumann, The mathematical writings of Évariste Galois, Zurich 2011. 此书是较新的伽罗华手稿集，也是手稿的英译本。

二、数学遗书

数学遗书独占伽罗华手稿的第2号卷宗。它由两大张39.7厘米×31.3厘米的纸，每张分别对折后形成的8页内容组成。8页的编号依次为f8a, f8b, f9a, f9b, f10a, f10b, f11a, f11b，如下图所示：

数学遗书编号示意图
数学遗书编号示意图

在下面的讨论中，当我们提到的编号如f11a或f11b时，我们指的是编号对应页面上的内容；而提到编号如f11时，则是指f11a和f11b同在其上的这（半）张纸。

数学遗书的内容占据了前7页，下图是f10b和f11a：

f10b和f11a
f10b和f11a

最后一页f11b上则是神秘信件的抄本：

f11b
f11b

如上面图片所示，f11被从下方整齐地裁去了一条纸，据[TA]和[BA]，裁去部分高8厘米，据[NE]为6厘米。

三、各手稿集对f11b的讨论，笔者的结论

[TA]注意到了f11b上的内容：

纸的尺寸：31×20。信件（译者注：指数学遗书）在开头和结尾处标注了两次日期（1832年5月29日），包括七页：第七页的下方，在签名底下，被裁去了大约8厘米的长度。

最后这页的背面上有两封信的草稿，且被划去，其中一封签着日期，也被划去；辨认得出是“14 mai 83”；伽罗华准备书写给Chevalier的信时，很可能使用了手头能拿到的第一张纸，而十几天前他已在这张纸上涂写过。

这些手稿以一种奇特的方式排布：它们中有完整的句子，还有些字行则中间空白，在起首和结尾处有一个词：这些词往往无法辨认，或是因为无法赋予它们意义，或是因被涂划过：划痕从上向下；在好几份伽罗华的手稿中也都如此；此处，它们似乎是用浸过墨水的羽毛笔之羽片或是一段木头涂划而成；第一封信的草稿在左，第二封在右，接着朝另一个方向继续；伽罗华把他的稿纸转动了一个直角。这是我能辨认出的文字：

……（译者注：此处略去转抄的两信的内容）

[BA]中则有更多评论：

它（译者注：指数学遗书手稿）写在两张对折的纸上，尺寸为20×31厘米，然后再折成四分之一大小以能放入信封。第四张纸的下方，恰好靠着签名和日期，被整齐地裁掉了8厘米高度的长方形。

信本身完全占据了前七页（8a-11a）。文字布满页面，几乎没有留下页边空白（2厘米）。书写得很匆忙，有点点划划的痕迹，但相当容易读。

……（译者注：此处略去对前七页的描述和评论）

背页展现了一份很令人好奇的文件。 这是两封信的草稿，之前已潦草涂写在他刚使用过的对折纸的背面。埃瓦里斯特·伽罗华发现它们在那里后，便拿长划将其涂掉，不得不说，他用了少见的猛力。事实上，那并不是草稿而是抄件。早先埃瓦里斯特收到这些信件，出于某种原因，他作了抄写。而这些存留遗迹还很神秘；它们中有规则的空白，就像是在试着重拼起被撕碎，缺少某几片碎片的信件。那它们到底是谁写的？又是为何而写？尽管有脱漏，我们还是知道接下去的一些事情，根据第二封信中的两处词法，写信人是位女性。这是在那令人失望将招引决斗的爱情之后，Stéphanie D.写给埃瓦里斯特·伽罗华的断交信，如此古怪地被保留下来。在第一封信底下被划去的日期是”14 mai 183“（译者注：即183?年5月14日），年份只能是1832，如果我们断定伽罗华是在5月29日重又拿起了这同一张纸。在25日他写给A. Chevalier的信中说到：”让我怎能自我安慰，一个月里就汲尽了人能有的最美的幸福之泉，不幸绝望地将其汲尽，在这一生里它都必定干涸了。“在此我们读到了悲剧的源头。

……（译者注：此处略去转抄的两信的内容）

我们在此逐行转抄这些信件的内容，以表现其系统性的中断处。在第一封信底下的签名被细细涂去，其中的姓氏至今无法辨清（译者注：上面转抄的两信内容中，[BA]将这个签名辨认为“Mademoiselle Stephanie D…”）。用笔杆木涂出的墨痕是最后那晚的。埃瓦里斯特试图抹去他这次冒险的最后痕迹，尤其是要让各个姓氏消失。

Tannery在他出版的手稿集中注意到了与如此著名的文字（译者注：指数学遗书）附在同处的令人好奇的这一页。他将其公之于众，却没有注意到其中的女性用词法。

[NE]中的评论：

最后一页f11，相当地神秘。一个特殊之处在于，虽然它和f10形成对折的小册，一个长方形的大约6厘米深的部分被仔细地从底部和本应和f10在折痕处相连的地方撕去。但主要的神秘之处却在于在它的背面，即在f11b上书写又划去的内容。看起来是两封信，相当可能是抄本或重构。两封都包含间断。这代表着原件（如果真有原件的话）上无法阅读的材料？这代表着某种形式的删剪？看起来我们无法知道了。

第一封信的结尾处有三个词被如此用力地划去，我无法将其读出。它们被辨认成“Mademoiselle”（看起来大概是），“Stephanie”（貌似合理）和“D…”（在[BA]中）。[IN]的作者Infantozzi进了一步，将其辨认成“Mademoiselle Stéphanie Du…tel”。虽然Infantozzi的文章在[BA]出版后的六年才发表，但其第一页上由编辑（即René Taton）书写的脚注澄清此文写于1962年，截然独立于[BA]。

第一封信占据页面的左上四分之一。第二封则从右上四分之一开始，在下半部分继续但页面被逆时针转动了90度，于是纸的右边缘成了上方，字行阅读方向从上到下，它们的排列则从右到左。同[TA]第228页和[BA]第489和490页上那样，此处将两信依原样行末换行转抄，来显示出这些神秘的间断在何处发生。这里是第一封，第一行文字看起来似乎——只是可能——是之后用一支较细的笔尖添加的：

……（译者注：此处略去转抄的两信的内容）

上述评论作出的时间横跨一个世纪，但它们基本都认为，或是不反对以下观点：

  • 此抄件书写时间早于数学遗书的写作时间，有可能是在此前十几天。伽罗华无意之中使用了已有此抄件的纸来书写他的数学遗书。
  • f11b上是两封信的抄件。

本文试图推翻上述论点，并提出一些新的解释。具体地，笔者想说明：

  • 此抄件书写时间晚于数学遗书的写作时间。也即伽罗华是在1832年5月29或30日故意将此信抄于此。
  • 信件文字中的空白间隙是如何产生的。
  • f11b上是单独一封信的抄件。

据笔者所知，在本文写作之前，没有人得到过这些结论。

伽罗华的决斗因男女情事而起的说法已被广泛接受。诚然，f11b上的信件抄件，和伽罗华在1832年5月25日写给Auguste Chevalier的信件内容，让我们有强烈的证据证明伽罗华在决斗之前有过一段爱情和失恋；但是将其和决斗联系起来，此前的证据却只限于并不确定的传闻。可是如果我们能相当确信f11b上的信件抄件是伽罗华在1832年5月29或30日故意所为，那么这信件不仅是决斗因情事而起的证明，而且可以认为信件本身和决斗联系紧密，甚至可能就是某种引起决斗的原因。

四、对f11的观察和推论

（一）f11a

观察f11a的下方，纸条恰好紧贴着内容结束处被裁去。于是我们可以认为：

推论一：f11被裁去下部，是在f11a的内容也即数学遗书完成后发生的。

如果不是这样，那么就太凑巧了。观察f11a的书写方式，章节和字行间的空隙，以及文字大小是通篇一致的。如果在f11a书写以前其下部就已经被裁去，那么或者是非常凑巧的巧合，或者是作者有意在书写时不急不缓却将内容篇幅写得恰好符合纸的大小。考虑到伽罗华在决斗前日的心情，以及他书写数学遗书时付出的精力，还有这样做的无必要性，后者是不可能的。在下面讨论f11b的书写方式时，我们还将看到，伽罗华并非一个在书写时事先安排版面的作者。

有人也许会提出，伽罗华在信末的签名和时间紧贴着正文，是纸下方缺少空间的迹象；如果在他签名和书写日期时f11下方还未被裁去，那么签名和日期应该会距离信件结尾有一段距离，而非现在这样如此贴近。但这其实是伽罗华的习惯，从f2a上的签名方式便可以看出。f2a是伽罗华向科学院第三次递交的稿件中的第一页，红圈内是日期和签名。下方的“1er Memoir”是后来（很可能是决斗前日书写数学遗书时）所加。

f2a
f2a

伽罗华为了向法兰西科学院询问他递交的论文的消息，于1831年3月31日写给科学院院长的信件，也许可以看作是上述推理的反面证据，证明伽罗华并非不善于安排版面。这封信不多不少恰好占据一页。但应该考虑到这封信非常正式，正如[NE]中指出，它大概是先有草稿然后再认真誊抄完成。伽罗华有理由在此为这样的细节小心翼翼，因为这是他作为一个大学生向国家最高学术机构的投书。

给科学院的信
给科学院的信

而在决斗前日，他必然没有这样拘于纸张大小而小心书写内容的心情。事实上，观察f11a上的文字排布，反而要比1831年3月31日信件上的更加自然而匀称，没有丝毫考虑文字篇幅和纸张大小关系的迹象。

故如非极端巧合，裁纸一事必发生在f11a上内容完成之后。

（二）f11b

现在让我们来看f11b的书写。f11b上信件抄本可按下图标成A,B和C三部分。

我们可以相当确定地认为：

推论二：这是一或两封信件的抄件，伽罗华在抄写时，有原件在手边。抄写的次序为A，B，C。抄写人在抄写时不仅照抄原件内容，而且还试图将原件字句缺损和排列也在某种程度上忠实地复制到抄件上。

A，B，C三部分抄写的次序相当容易分辨，也符合一般人从上到下从左到右的书写习惯。可以看出伽罗华在抄写这书信时，至少在某些时刻，试图保持抄件和原件字句缺损和排列的一致性。这可以从以下细节看出：

  • A部分信后年份缺少最后一位数字2。
  • B部分结尾处”z demandé”里那个单独的z，完整地应为(Vous) aviez demandé。
  • C部分开始为les au的字行，完整地应为les autres。

如果不是原件在手边，单靠回忆，那么要么回忆不出缺少数字2或只看得见z之类的细节，要么能够完整回忆出“1832”和“aviez”这样完整的词来。

  • C部分的trompée ou laissée influencer à leur égard一行中，trompée和à leur égard被写得很分开，而ou laissée influencer被从上方插入。

这显然是在未抄写此句时就事先知道trompée和à leur égard之间会被插入一些内容，故这个插入是原件上就有的特征。没有原件在手边，也不太可能有这样的抄写特征。

通过稍进一步的观察我们还能得出：

推论三：A，B，C三部分在原件上分处于三页。

A部分单独在一页比较显然，不作论证。在抄写B部分结束前几行时，看得出书写者此时发觉，如果他保持前面的行距和文字大小，那么他就会缺少空间；于是他接下去书写时缩小了行距和文字大小。如果B部分的结尾和C部分开头在原件中处于同一页，这种行为就毫无必要；他完全可以从容地按原行距和文字大小书写B部分，而将剩下的现今B部分的某些内容抄在C部分开头。现在这种书写排布方式强烈地暗示，他本就打算将B部分完全抄写于f11b页面右上方四分之一处。而这种分配方式，自然是因为B部分在原件中是完整的一页。另外，C部分抄写时，书写者将纸张逆时针转动了九十度，这也意味着他打算将C部分以“一页”的方式展现出来。如果不考虑这点，他完全可以在f11b的下方水平地将C部分抄写为并列的两部分，而不是以现在这样转动纸张的方式来抄写。

推论四：C部分被书写时，f11已经被裁去下部。

书写者在开始抄写C部分时，行首紧贴着B部分。这和A部分奢侈的上方和左方页边距成为鲜明的对比。很明显，书写者在下笔时担心剩下的纸的空白处不足以容纳整一行内容。如果f11的下部在抄写C部分时并未被裁去，这种担心完全没有必要。

通过f11b上三部分的排布，我们可以看出此时的书写者并非一个能精确估计自己书写布局的人，即便他手头已经有完整的需要书写的内容。这让我们的推论一更合理。

将推论一和推论四一起考虑，我们得到：

推论五：f11b中信件的抄写，在数学遗书写作完成后，也即不早于决斗的前日；而f11纸下方被裁，发生在此两事之间。

五、伽罗华抄写f11b的动机

现在，让我们来推测一下伽罗华抄写f11b的动机。

既然f11b上信件内容抄写于数学遗书完成以后，而且抄于准备送给Auguste Chevalier的数学遗书最后一页的背面，那么这个抄件的作用就只能是给Auguste Chevalier的。不管之后这个抄件是否被划掉了，至少在抄写的时刻，伽罗华的打算是这样的。

根据推论二，伽罗华在抄写信件时有原件在手边，那么还要抄一份抄件的目的是什么？为什么他不直接把原件附在给Chevalier的信上，而是多此一举？要知道这是在决斗的前日（甚至可能就在决斗当日），他已为整理手稿和写作数学遗书花了极大精力，甚至在手稿空白处写过“我没有时间”这样的话，不是感到极为必要，是不会做抄信件这种事的。答案只能是：原件另有它用。进一步的考虑，这个“它用”有可能就是要将原信带到决斗地，将其交给决斗场所的某人。

在决斗之前，知道自己很可能因此而死，急着要将信件内容告诉自己的好友，决斗之时又要将原信交给决斗场所的某人，这封信和决斗的关系非同小可。

f11下方被裁去也是一件相当特别的事情。极有可能在那里出现过一些非常重要的内容，但看来我们永远也不会知道是什么了。这里可以猜测一下f11下方被裁去的原因，不过这种猜测没有实际证据支持。我的想法是，伽罗华在数学遗书结束后，又在f11a的下方向Chevalier叙述了决斗的原因。但因为和决斗对手的荣誉约定（见他决斗前日写给全体爱国者的信和给朋友N.L和V.D.的信[CH]），又觉得不妥，才将其裁去。然后用信件抄件这样也许不违背约定的方式更隐晦地透露有关决斗的信息。

在那以后伽罗华还是决定隐藏女方的名字，将信件内容草草划去，却细心涂抹了寄信人签名，尤其是姓氏。但是且慢，正如第三节所示，所有之前的研究都认为划去f11b上信件抄件并仔细涂去那个签名的人是伽罗华本人。但是这么说的依据何在？[BA]的说法是划痕的墨水和数学遗书相同，如果真是如此，那么到也是此事为伽罗华所做的强烈证据，但如何肯定这点？

也许在将来，我们能有较好的判定方式，能通过技术手段，来区分书写数学遗书（结尾处）的墨水（E1），f11b上抄写信件的墨水（E2）和划痕的墨水（E3）。如果E1和E2不同，那么我上述的“数学遗书写于信件抄件前”的结论就会被推翻；如果E1和E2相同，却和E3不同，那么我的结论就会被大大加强，而Chevalier就要被强烈怀疑为是涂抹信件抄件的人。如果上述三处墨水都相同，那么这仍是支持我的结论的证据，但涂抹信件抄件的人大概就是伽罗华本人，但也不排除是他母亲，因为Chevalier在6月底才拿到伽罗华手稿。

六、信件抄件中空白间隙的解释

以下是三本手稿出版物中对f11b上信件内容的辨认，从左到右分别为[TA]，[BA]和[NE]。值得指出的是，[TA]和[BA]在整理内容时将B和C部分合并给出，并没有特别指出它们间分开之处；仅读这两书便无法得知B和C部分具体如何分割。似乎两书编辑并不认为这是一个重要的信息。

A部分
A部分

B部分
B部分

C部分
C部分

[TA]认为这是两封信的抄件，但没有说出理由，[BA]和[NE]也由此继续这样认为。但事实上我认为这更像是一封信的抄件，其次序为BCA。关于这点，我将在后面进一步论证。

在[BA]中提到的“女性用词法”出现在B部分的vous m’avais vue（如写信人为男性应为vous m’avais vu）和C部分的m’être trompée ou laissée influencer（如写信人为男性应为m’être trompé ou laissé influencer）。

观察这些空白间隙，我们可以看到这样的特点：

  • 空白一般都出现在字行当中，长度均为字行的一半多点。
  • 上述含有空白的字行总连续出现，均连续出现两行或三行。明显可见的，A部分有一处，B部分有三处，C部分有两处。
  • B部分第一处和第二处空白间有7行无空白的字行；C部分第一处和第二处空白间同样有7行无空白的字行。
  • A部分开始到第一处空白有6行无空白的字行；C部分开始到第一处空白有5行无空白的字行.

不难看出，这些空白处其实是页面上几个大小差不多的洞。我们假设在这三页上各洞的位置基本一致，那么比较容易看出的是B部分第一和第二处空白分别对应的就是C部分的第一和第二处空白，此两处空白间的间隔均为7行。而B部分的第三处空白在C部分看不出，是因为C部分第二处空白后只有两行，在和B部分第三处空白所对应的地方已经没有字了。而A部分那唯一空白处对应的是B部分的哪处空白？如对应第三处太低，对应第二处则A部分空白处底下有三行完整的字行，不太容易和B部分第二处空白下只有一行完整的字行相对应；A部分那唯一空白处对应B部分第一处空白处则符合得相当好，尤其是下方那个年份“183”中缺少的“2”可暗合B部分第二处空白。

另外同一页上的三个洞大小一致，暗示着它们是同一个原因造成的，最有可能是火烧，而非[BA]里猜想的撕碎。我实验了一下，如果将一张长方形纸（我拿的是A4纸）先纵向对折，然后横向对折，再同一方向不对齐地折一次，然后在恰当的地方破出一洞，就可以达到最终在纸上产生满足上面条件的三个洞来：

在这种折法下对信件原件中内容和破洞排布的猜想，红线为折痕：

手稿f11b上相应的破洞位置：

另外我猜测B和C部分是同一张纸的两面。这符合当时人的写信习惯，纸张两面都会用来书写。

当然，这些图仅为示意图，我并不肯定原件的折法的确如此，尤其是在不知原件纸张大小、长宽比例和页边空白的情况下。在此我只是表明，存在合理的字行分布情况，以及简单的信纸折法和火烧的方式，来产生f11b上信件内容中那样的空白间隙。在实际情况下，可能性更广泛，因为火烧后的洞不是严格一致的大小，字行的大小和分布也有可能更加多变，无法仅凭推理就可以完整地猜测到。

上述对信件抄件中空白的解释中，唯一无法解释的是前面图中所示的tb部分。它是B部分里相当孤独的一处空白。如果它是一处烧痕，我们应当能在C部分找到对应的痕迹（尤其是在B和C部分处于同一张纸的正反两面的假设下），可事实上在C部分并无这样的痕迹；我也无法解释为何在此处会有单独一条烧痕。我猜想tb是原件上一处被写信人涂去的部分。这并非不可能：它前面的“l’absence de tout sentiment de ce genre”完全可以是句子的结尾，然后写信人在后面写了些什么，觉得不妥涂掉，接着开始了一句以“Ma confiance”开始的话。

如果信件原件的折法类似于上述提出的折法，也即有三次折叠，每次折叠使得面积减小约一半，那么原件纸页大小应该类似于f11（未裁去底部）或是A4纸，即约20×30厘米。这样经过三次折叠后，所得纸张大小是一个小信封的大小。如果原件纸张比这更小不少，那么折叠后得到的纸张面积将会太小，不符合常理；如果原件纸张比这更大不少，那么写信人所写的字体似乎要相当大，也不太符合常理。

我也做过实际的火烧实验，但发现现代的A4纸似乎不太容易烧出符合上述情况的洞来：纸张并非一触到火便燃烧，而是需要一定时间，然后一下子比较大的面积同时着火。我猜想原件的纸张遇火应该比今日的纸张更容易炭化，但火势在纸上蔓延却较慢。这一点需要进一步的验证。

七、论只有一封信

从信的内容来说，如果信件是以前那样认为的两封，即把B和C部分看作是单独的一封信，那么此信的意思是不完整的。女方从“我听从了您的意见并对……考虑”开始，虽然对收信人（伽罗华）的某些观点表示不同意，却以某种形式上的感谢结束，写信的目的有点莫名其妙。但是如果将A部分看作是结论，三部分次序为BCA，那么整封信意见有起伏，主要是叙述两人不合，却也有类似“你是个好人”的安慰，然后下结论“让我们断绝这种关系”的断交信结构就相当完整了。

更有力的证据则是三页纸的结构。ABC三部分只有一个签名和一个日期，说是两封信便很奇怪。从前面示意图看，B部分的内容开始前有很宽的留白，这符合当时书信的写法（许多信的第一页甚至从纸页的中部开始），也许前面还有未被伽罗华抄写下的抬头。这说明写信人有写信开始留白或书写抬头的习惯。如果A部分是单独一封信，那么这封信却没了这种留白或抬头，就有点怪异了。

在我看来，[TA]猜测这是两封信的唯一原因，就是A部分是首先抄写的，如果只有一封信，这种抄写次序相当怪异。我的解释是，伽罗华是以拿到手的纸页次序抄写的。但还有一种可能的解释是，伽罗华本来只想抄写A部分，他认为重要的内容就在A部分里，抄完后才又觉得应当将整封信抄写完整。如果是这样，那么A部分的内容是值得重点关注的。当然，对此我没有任何证据。

参考文献

[BA] Robert Bourgne & Jean-Pierre Azra, Écrits et Mémoires Mathématiques d’Évariste Galois. Édition critique et intégrale des manuscrits et des publications d’Évariste Galois. Gauthier-Villars, Paris 1962. (2nd edition, Gauthier-Villars, Paris 1976; réimpr, Éditions Jacques Gabay, Paris 1997.)

[CH] Auguste Chevalier, Nécrologie : Évariste Galois, Revue encyclopédique, Paris, Baudouin frères, vol. LV,‎ juillet-septembre 1832, p. 744-754. https://books.google.fr/books?id=NmBFAAAAYAAJ

[GA] Évariste Galois, Manuscrits: images numériques par F. Xavier Labrador. http://www.bibliotheque-institutdefrance.fr/content/bibliotheque-numerique-manuscrits

[IN] Carlos Alberto Infantozzi, Sur la mort d’Évariste Galois, Revue d’histoire des sciences et de leurs applications, 21 (1968), 157–160. https://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1968_num_21_2_2554

[NE] Peter M. Neumann, The mathematical writings of Évariste Galois, Zurich, Société mathématique européenne, coll. « Heritage of european mathematics », octobre 2011, 1re éd., X-410 p. ISBN 978-3-0371-9104-0. https://books.google.com/books?id=fMh4KDMD_68C

[TA] Jules Tannery, Manuscrits de Évariste Galois, Gauthier-Villars, Paris 1908. https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9610625f.r

（完）